조류계산 레포트
조류계산 레포트
1. 서론
전력 계통은 흔히 다수의 발전기, 변압기, 능동 및 수동 부하와 여러 가지 부속 설비들로 구성되어 있으며, 이들은 송전선로에 의해 수백 개 심지어는 수천 개의 모선들과 서로 연결되어 있다. 전력 계통의 목적은 전체 계통에 연결되어 있는 수용가에 유효전력과 무효전력을 공급하는 것으로, 전력의 공급은 정해진 전압의 크기와 주파수 범위 내에서 중단 없이 이루어짐으로써 신뢰성 있고, 경제적이어야 한다. 발전기중 어느 하나라도 지속적인 과부하 상태에 있어서는 안 되고, 선로 손실이 지나치게 커지게 되어 송전선로에 부담이 되어서도 안 된다. 전력 조류 해석의 주 목적은 이와 같은 목표를 이루기 위한 것 이다. 즉 계통을 효율적이며 안전한 상태에서 운용하기 위해 전력 조류 해석은 필수적이라고 할 수 있다. 하지만 전력 계통은 전압이나 전류에 의해 구동되는 것이 아니라, 전력원에 의해 구동되기 때문에 전력 조류 방정식은 비선형 방정식이 된다. 다음에는 전력 조류 방정식을 풀기 위한 Newton-Raphson method를 알아보도록 하자.
2. Newton-Raphson method
비선형 방정식
이 있다고 하자.
그리고 이것의 근사해를 , 진정한 해를 라 할 때 로 가져가기 위한 수정량을 라고 한다면
으로 될 것이다. 이것을 근사해 를 중심으로 Taylor전개하면
의 관계가 얻어진다. 여기서 이상의 항은 무시해서 을 다음 단계의 개선 된 근사 값 이라고 생각하면
으로 되어 이 구해지게 된다.
위의 그림은 와 과의 관계를 나타낸 것이다. 최초의 근사해 에 대응하는 곡선 상의 점 에서의 접선과 축과의 교점이 이 되게 된다. 다시 이 을 근사해라 가정하여 를 구하는 식으로 계산을 되풀이 한다. 즉
에 따라 반복 계산을 실시하고 가 적당한 수렴 조건을 만족하면 의 근으로 를 취하도록 한다.
그러면 이제 이것을 n개의 변수로 구성되는 n개의 비선형 연립 방정식으로 확장해 보자.
에서 초기 근사값을 , , , 이라 하고 각 항 의 소유 수정량을 각각
, , , 이라고 하면 주어진 연립 방정식은
이 된다. 이것을 1절에서와 마찬가지로 근사해 , , , 을 중심으로 Taylor 전개하면
이 된다. 여기서 은 , , , 의 고차함수이며 을 2차, 3차, 미분한 것이다. 만일 초기 수정값이 적당히 선정되면 소요 수정량 는 미소량이 되므로 위의 는 무시할 수 있게 될 것이다. 이 결과
로 된다. 이것을 행렬을 써서 정리하면
또는
로 표현된다. 특히 여기서 , , , 에 관한 의 계수행렬 는 Jacobian 행렬 또는 단순히 Jacobian이라고 부른다.
결국 위의 식은 수정량 , , , 에 대해서 풀고 이것을 이용하여 해를 개선해 가는 과정을 반복하여 적합한 수렴값을 찾아내면 그것이 그 비선형 연립방정식의 해가 된다.
3. 전력 조류 방정식(Power Flow Equation)
전력계통에서 모선은 발전기, 콘덴서뱅크(무효전력 보상기), 부하가 연결되는 분기점으로서 [그림 1]과 같이 모델링할 수 있다. 일반적으로 콘덴서 뱅크는 발전기와 거의 같은 기능을 하므로 모선은 콘덴서 뱅크를 포함한 발전기와 부하로 구성되어 있다고 고려할 수 있다.
[그림 1] 모선의 모델링
[그림 1]에서 콘덴서 뱅크나 발전기의 전력은 모선으로 들어오는 것을 기준으로 하고 부하의 전력은 모선에서 나가는 것을 기준으로 하여 모선의 전력을 정의하고 있다. 모선의 전력을 발전기의 전력과 부하의 전력을 이용하여 나타내면 아래 식과 같다.
위 식의 우변을 모두 좌변으로 이항하면 아래 식이 되는데 이것을 Bus Power Balance equation이라고 한다.
위의 식은 1개 모선에 대한 Bus Power Balance equation이다. 이 Bus Power Balance equation을 계통전체로 확장시켜 보자. 모선에는 발전기, 콘덴서 뱅크, 부하가 연결되어 있는데 부하만으로 구성되어 있는 모선을 부하모선, 콘덴서 뱅크나 발전기도 포함되어 있는 모선을 발전모선이라 부른다. 발전모선은 경우 부하가 없는 경우도 있지만 극히 적다. 따라서 부하가 없는 발전모선을 0인 부하를 가지는 것으로 고려하면 모든 모선에는 부하가 연결되어 있는 것으로 간주할 수 있다. 그리고 이러한 모선중의 일부에만 발전기나 콘덴서 뱅크가 연결되므로 계통전체에 대한 Bus Power Balance equation은 다음 식과 같이 나타낼 수 있다.
조류계산의 문제는 어떤 특정한 단자나 모선의 조건에서 계통에 관한 전력 흐름과 전압에 대한 계산으로 구성되어 있으므로 이 계산은 궁극적으로 각 모선의 전력을 결정하기 위하여 모선전압의 크기와 위상각을 결정하는 문제로 귀결된다. 따라서 계통의 조류계산을 위하여 전력방정식을 세워야 한다. 전력방정식은
와 같이 전압과 전류로 표시된다. 이때 각각의 모선에서 키르히호프의 전류법칙(KCL)을 적용하면 모선의 전류는
이 된다. 이때 모선 어드미턴스 행열 는 [그림 2]와 같은 구조를 가지게 된다.
[그림 2]모선 주입전류에 대한 모선 어드미턴스 행렬 구조
여기서 는 모선과 모선을 연결하는 선로의 어드미턴스를 나타낸다. 모선 어드미턴스 행열을 선로의 어드미턴스를 이용하여 나타내면 아래 식과 같다.
그러면 위 식들에 의해서 다음 식을 얻을 수 있다.
가 된다. 따라서 전력방정식은 변수와로 구성된 비선형 함수임을 알 수있다. 그리고
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자료출처 : http://www.ALLReport.co.kr/search/detail.asp?pk=11041389&sid=ddangkung&key=
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