변형률과 응력 레포트

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변형률과 응력

변형률과 응력

변형률과 응력(Strain and Stress)

과학과 기술이 발달한 지금도 지구 내부를 직접 관찰하기는 불가능한 실정이다. 시추 기술의 발달로 땅속으로 몇 km는 뚫을 수 있지만, 이 깊이도 지구 크기와 비교할 때 거의 무시할 수 있는 값이다. 따라서 지구 내부를 연구하기 위해서는 간접적인 방법으로서 지구 내부의 정보를 가지고 있는 자료를 이용하는 것이다. 지진에 의해 발생된 탄성파를 지진파라고 한다. 지진파는 지구를 매체로 하여 전달되므로 지구 내부에 관한 정보를 가지고 있다. 따라서 지구 내부, 특히 맨틀과 핵을 연구하기 위한 중요한 방법 중의 하나는 지진파를 연구하는 것이다. 지진파를 연구하기 위한 기초적인 요소는 먼저 탄성체의 성질을 이해하는 것이 중요하다. 물체가 외부로부터 힘을 받으면 그 크기나 모양이 변하나, 그 힘을 제거하면 다시 본래의 상태로 되돌아가는 성질을 탄성(elasticity)이라고 한다. 탄성의 성질을 가진 물체를 탄성체라고 하고, 탄성체의 이해는 지구 물리뿐만 아니라 구조 지질학, 지구 동력학, 지질 공학 등에서 매우 중요하게 사용된다. 탄성체의 성질을 이해하기 위하여 변형률과 응력의 개념을 알아야 한다. 그리고 이 단원에서는 벡터의 텐서에 관한 사전 지식을 요구 한다.

1. 변형률 (Strain)
1-1. 1차원에서 변형률

물체가 힘을 받아 크기나 모양의 변화, 즉 변형(deformation)이 되었을 때 변형 전의 상태와 비교하면 변위(displacement)가 일어난다. 먼저 1차원에서 변형을 알아보자. 그림 1-1의 (a)와 (b)에서 점 를 고정시키고 변형 전의 점 의위치를 , 변현 후에 점 에 대응하는 점 을 , 점 에서 변위를 라고 하면, 는 혹은 (1-1)
이며, 여기서 이다. 변형 전 P와 Q의 위치를 와 라 하고(그림 1-1-a), 변형 후 두 점에 대응하는 와 의위치를 와 라 할 때(그림 1-1c), 와 은 변형 전의 와 점의 위치와 그 점에서 변이 의 합으로 표시된다.
, (1-2)
식 (1-2)에서 변형 후 선의 길이 은 와 의 차로 나타난다. 따라서 선분의 길이 은 식 (1-2)을 사용하면,

(1-3)

이다. 식(1-3)의 우변의 는 테일러의 급수(Taylor`s series: Appendix 1)로 점 에서 전개하여 2차항 이상을 무시하면 이므로, 은
(1-4)
이고, 여기서 (1-5)
이다. 식 (1-5)의 는 변형 전 길이에 대한 변위의 비이며, 일차원에서 변형률로 정의될 수 있고, 이는 삼차원에서 수직 변형률에 대응한다. 변형률은 변형에 의한 변이 를 본래의 길이 로 나누었으므로 단위가 없다. 만약 변형률 가 위치에 관계없이 일정하다면, 이를 균질변형률 (homogeneous strain) 이라 하고 식 (1-4)의 일차 미분방정식의 일반해는
혹은
(1-6)
이며 과 은 변형 전과 변형 후의 선분의 길이이다.

1-2. 3차원에서 변형률

3차원에서 물체의 특정한 점 근처에서 변형을 표시하려면 점의 위치와 변위를 벡터로 표시하여 기술할 수 있다. 그림 1-2에서와 같이 변형이 일어나기 전 무한소의 선분 를 라고 할 때, 고정된 좌표에서 위치 벡터 와 는 와 로 표시된다. 변형 수 본래의 위치 벡터 와 는 변형 후의 점와 로 이동하고 와 에서 변이 벡터를 와 라고 할 때, 변형 후의 점와 의위치 벡터 와 는 1차원에서 식 (1-2)와 같이 본래의 점 , 의 위치 벡터와 그 변이 벡터의 합으로 표시된다.

(1-7)
식 (1-2)와 (1-7)의 차이점은 스칼라 (scalar)와 벡터(vector)의 차이다. 즉, 스칼라 는 방향이 일정한 한 성분 밖에 없고, 식 (1-7)에서 벡터 는 3개의 성분 로 되어 있다. 그러나 식 (1-2)와 (1-7)에서 보듯이, 표시 방법은 차원에 관계없이 같다. 따라서 고차원에서도 식 (1-7)과 같이 표시되며, n차원에서 벡터 는 n개의 성분을 가지고 있다. 식 (1-7)과 그림 1-2에서 선분 는 두 위치벡터 과 의 차로 표시된다.
(1-8)
식 (1-7)에서와 마찬가지로, 식(1-3)과 (1-8)의 차이는 전자는 스칼라이고 후자는 벡터이다. 식 (1-8)의 우변에 있는 에 대하여 테일러 급수를 라고 가정하고 이차항 이상을 무시하여 테일러 급수를 x에서 전개하면 의 각 성분 는


(1-9)
이고, 식 (1-9)의 일반적인 형태는

로 나타난다. 여기서, 는 크로네커 델타 (Kronecker delta) 함수로서
for
for
로 정의된다. 식 (1-8)과 (1-9)에서 보듯이, 변형 후의 벡터 은 변형을 받지 않고 본래 벡터 의 평행이동 (translation)을 나타내는 와 변형을 받아서 점 와 의 변위 차, -의 합으로 표시된다. 식 (1-9)에서 각 벡터는 3개의 성분을 가지므로, 는 9개의 성분으로 되어 있는 2계 텐서이며, 이 텐서를 변형텐서라고 한다.

1-3. 변위텐서와 회전텐서

임의의 텐서는 대칭부분과 비대칭 부분으로 나눌 수 있다. 변형 텐서의 대칭 부분을 변이텐서()라고 하고 비대칭 부분을 회전텐서 ()라고 할 때 아래와 같이 정의된다.
(1-11)
여기서 ,
이므로, 매트릭스 와 는 다음과 같이 표시된다.


자료출처 : http://www.ALLReport.co.kr/search/detail.asp?pk=11018860&sid=ddangkung&key=